5.1 MONTE CARLO

 

Penyelesaian masalah menggunakan nombor rawak.

 

Mewakilkan penyelesaian sbg parameter suatu populasi hipotesisan, dan menggunakan  jujukan nombor rawak utk membina suatu sampel populasi berkenaan, daripada mana anggaran statistikan parameter tersebut boleh didapati.

 

Tak semesti masalah stokastik sahaja

 

Terutama bagi masalah2 dgn bil darjah kebebasan besar, dimensi besar

 

Secara formalnya, kaedah Monte Carlo ialah kaedah kamiran

 

Kamiran

      Daripada Hukum Bilangan Besar.

Hasil Monte Carlo, fungsi nombor rawak, F(r1,r2,…,rn)

      Jangkaan F ialah kamiran I.

     

      Contoh:

                 

                  Maka

                             

                                    xn set N nilai drpd nombor rawak seragam dalam [0,1]

 

Taburan kebarangkalian tak seragam

 

untuk menjana nombor rawak menurut taburan tertentu:

            f(x)dx mewakili kebarangkalian utk memperolehi nilai antara x dan x+dx

                        [f(x) fungsi taburan kebarangkalian]

 

            u ialah nombor rawak dgn taburan seragam g(u)=1 antara 0 dan 1

·         Kaedah transformasi songsangan: katakan taburan untuk x diperolehi dengan mentransformasikan u menurut x = F-1(u). Ataupun, u = F(x). Tapi f(x)dx = g(u)du, ataupun f(x) = g du/dx = dF/dx.

Contoh: f(x) = (1/β)exp(-x/β).

            F(x) = 1-exp(-x/β) = u

            x = -β ln (1-u)

Pilih u secara rawak di antara 0 dan 1. Kemudian kira x = -β ln (1-u).

·         Kaedah gubahan: pecahkan fungsi taburan kebarangkalian kepada hasiltambah fungsi-fungsi taburan kebarangkalian yang mudah dibuat.

Contoh: f(x) = (5/12)[1 + (x-1)4]; 0 ≤ x ≤ 2

            fa(x) = 1/2        fb(x) = (5/2)(x-1)4

            maka f(x) = (5/6) fa(x) + (1/6) fb(x)      (hasiltambah pekali = 1)

Jana nombor rawak u1. Jika u1 < 5/6, guna fa: jana u2, x = 2 u2. Jika u1 > 5/6 guna fb: jana u2, x = 1 + 5√(2u2)

·         Kaedah penerimaan-penolakan (von Neumann): Jana dua nombor rawak seragam u1 dan u2, terima x = u1 jika u2 < f(u1) [yakni titik (u1, u2) di bawah lengkung kebarangkalian]

·         Taburan Gaussan menerusi Teorem Had Pusat: hasiltambah nombor-nombor ralat menurut apa-apa taburan memberikan taburan Gaussan

Contoh: taburan seragam antara [0,1] – jangkaan ½ , varians 1/12 (kira!),

            setelah n, E(Rn) = n/2, V(Rn) = n/12

            utk Gaussan min 0 varians 1, guna

 

 

Simulasi stokastik

 

            Simulasi – kamiran pergerakan terhadap masa

 

Kaedah Monte Carlo – membabitkan kebarangkalian di sebilangan tahap – kamiran terhadap sebilangan ‘cubaan’ utk memberikan kebarangkalian keseluruhan (lipatan kebarangkalian)

 

Persamaan-persamaan pergerakan – biasanya persamaan pembezaan terhadap masa. Kamiran terhadap masa memberikan nilai kedudukan dsb selepas masa yang dikehendaki.

Simulasi komputer biasanya membabitkan pengiraan keadaan sistem terhadap perjalanan masa, iaitu kamiran persamaan pergerakan.

 

Sesetengah sistem misalnya sistem fizik statistik, sistem kuantum, mempunyai persamaan pergerakan yang mengandungi kebarangkalian. Penyelesaian sistem ini biasanya membabitkan penerbitan taburan kebarangkalian untuk keadaan-keadaan akhir. Ini boleh dilakukan menerusi kaedah Monte Carlo – banyak cubaan atau salinan kes penyelesaian dilakukan, dan bagi setiap cubaan itu, apabila kebarangkalian terbabit, satu nilai dipilih menurut kebarangkalian yg diberikan itu (jadi bila dikumpulkan, cubaan-cubaan ini akhirnya memberi taburan kebarangkalian tersebut). Bila pergerakan ditentukan kebarangkalian di sebilangan tahap – kaedah ini menghasilkan lipatan kebarangkalian.